\end{align} 「対辺の長さは $\sin\theta$ の値を表し、底辺の長さは $\cos\theta$ の値を表す」 \sin{\theta}=&\dfrac{\text{PQ}}{\text{OP}}=\text{PQ}\\ \[\tan{\theta}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\] \[\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\] \[1+\dfrac{1}{\tan^2{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^2{\theta}}\], $\cos\theta$ と $\tan\theta$ の関係 \[\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\tag{2}\label{kakutyosaretasankakuhinosougokankenituite2}\] \[\tan\theta'=\dfrac{y}{-x}=-\dfrac{y}{x}=-\tan\theta\] \begin{align} cos 問題を解いてみる. これまでは、直角三角形を用いて鋭角の三角比を考えてきた。より一般的な三角形を分析するための準備として、ここでは三角比の考えを直角・鈍角・$0^\circ$へと拡張し、$0^\circ$から$180^\circ$までの三角比を統一的に扱おう。 &\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\\ ( と表すことができる。, ここで、$\theta'=180^\circ-\theta$ であるから、次のようにまとめることができる。, 角$\theta$ が $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ の三角比において \[\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\] 三角関数(さんかくかんすう、英: trigonometric function)とは、平面三角法における、角の大きさと線分の長さの関係を記述する関数の族および、それらを拡張して得られる関数の総称である。鋭角を扱う場合、三角関数の値は対応する直角三角形の二辺の長さの比であり、三角関数は三角比とも呼ばれる。三角法に由来する三角関数という呼び名のほかに、後述する単位円を用いた定義に由来する円関数(えんかんすう、英: circular function)という呼び名がある。, 特に sin, cos は幾何学的にも解析学的にも良い性質を持っているので、様々な分野で用いられる。例えば波や電気信号などは正弦関数と余弦関数を組み合わせることで表現することができる。この事実はフーリエ級数およびフーリエ変換の理論として知られ、音声などの信号の合成や解析の手段として利用されている。他にもベクトルの外積や内積は正弦関数および余弦関数を用いて表すことができ、ベクトルを図形に対応づけることができる。初等的には、三角関数は実数を変数とする一変数関数として定義される。三角関数の変数の対応するものとしては、図形のなす角度や、物体の回転角、波や信号のような周期的なものに対する位相などが挙げられる。, 三角関数に用いられる独特な記法として、三角関数の累乗と逆関数に関するものがある。通常、関数 f (x) の累乗は (f (x))2 = f (x)・f (x) や (f (x))−1 = 1 / f (x) のように書くが、三角関数の累乗は sin2x のように書かれることが多い。逆関数については通常の記法 (f −1(x)) と同じく、sin−1x などと表す(この文脈では従って、三角関数の逆数は分数を用いて 1/sin x のように、あるいは (sin x)−1 などと表される)。文献あるいは著者によっては、通常の記法と三角関数に対する特殊な記法との混同を避けるため、三角関数の累乗を通常の関数と同様にすることがある。また、三角関数の逆関数として −1 と添え字する代わりに関数の頭に arc とつけることがある(たとえば sin の逆関数として sin−1 の代わりに arcsin を用いる)。, 三角関数に似た性質を持つ関数として、指数関数や双曲線関数、ベッセル関数などがある。また、三角関数を利用して定義される関数としてしばしば応用されるものにsinc関数がある。, 直角三角形において、1 つの鋭角の大きさが決まれば、三角形の内角の和は 180°であることから他の 1 つの鋭角の大きさも決まり、3 辺の比も決まる。ゆえに、角度に対して辺比の値を与える関数を考えることができる。, ∠C を直角とする直角三角形 ABC において、それぞれの辺の長さを AB = h, BC = a, CA = b と表す(図を参照)。∠A = θ に対して三角形の辺の比 h : a : b が決まることから、, という 6 つの値が定まる。それぞれ正弦(sine; サイン)、正割(secant; セカント)、正接(tangent; タンジェント)、余弦(cosine; コサイン)、余割(cosecant; コセカント)、余接(cotangent; コタンジェント)と呼び、まとめて三角比と呼ばれる。ただし cosec は長いので csc と略記することも多い。ある角 ∠A に対する余弦、余割、余接はその角 ∠A の余角 (co-angle) に対する正弦、正割、正接として定義される。, 三角比は平面三角法に用いられ、巨大な物の大きさや遠方までの距離を計算する際の便利な道具となる。角度 θ の単位は、通常度またはラジアンである。, 三角比、すなわち三角関数の直角三角形を用いた定義は、直角三角形の鋭角に対して定義されるため、その定義域は θ が 0° から 90° まで(0 から π / 2 まで)の範囲に限られる。また、θ = 90° (= π / 2) の場合 sec, tan が、θ = 0°(= 0) の場合 csc, cot がそれぞれ定義されない。これは分母となる辺の比の大きさが 0 になるためゼロ除算が発生し、その除算自体が数学的に定義されないからである。一般の角度に対する三角関数を得るためには、三角関数について成り立つ何らかの定理を指針として、定義の拡張を行う必要がある。後述する単位円による定義は初等幾何学におけるそのような拡張の例である。他に同等な方法として、正弦定理や余弦定理を用いる方法などがある。, 2 次元ユークリッド空間 R2 における単位円 {x(t)}2 + {y(t)}2 = 1 上の点を A = (x(t), y(t)) とする。反時計回りを正の向きとして、原点と円周を結ぶ線分 OA と x 軸のなす角の大きさ ∠xOA を媒介変数 t として選ぶ。このとき実変数 t に対する三角関数は以下のように定義される。, これらは順に正弦関数 (sine function)、余弦関数 (cosine function)、正接関数(tangent function) と呼ばれる。さらにこれらの逆数として以下の 3 つの関数が定義される。, これらは順に余割関数 (cosecant function)、正割関数 (secant function)、余接関数 (cotangent function) と呼ばれ、sin, cos, tan と合わせて三角関数と総称される。特に csc, sec, cot は割三角関数(かつさんかくかんすう)と呼ばれることがある。, この定義は 0 < t < π / 2 の範囲では直角三角形による定義と一致する。, 角度、辺の長さといった幾何学的な概念への依存を避けるため、また定義域を複素数に拡張するために、級数を用いて定義することもできる。この定義は実数の範囲では単位円による定義と一致する。以下の級数は共に示される収束円内で収束する。, の解として cos x を定義し、sin x を −d (cos x)/dx として定義できる[1][2]。 \[\angle{\text{POQ}}=45^\circ~,~\angle\text{P'OQ'}=45^\circ\] 三角比の公式まとめ(サイン、コサイン、タンジェント、正弦定理、余弦定理など) \[\tan^2{\theta}+1=\dfrac{1}{\cos^2{\theta}}\], $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$ のとき、$\cos\alpha$、$\tan\alpha$ の値を求めよ。, $\cos\alpha=\dfrac{1}{3}$ のとき、$\sin\alpha$、$\tan\alpha$ の値を求めよ。, $\tan\alpha=7$ のとき、$\cos\alpha$、$\sin\alpha$ の値を求めよ。, $(\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2$, $\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}-\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}$. \cos{\theta}=&\dfrac{\text{OQ}}{\text{PO}}=\text{OQ}\\ 三角比の拡張. ¦ç«¯ã®è§’度が30度のときの比率を覚えておけば大丈夫です。, このように、30度と60度の三角比は1対2対√3、45度の三角比は1対1対√2になります。, 三角比を覚えて三角形の角度と辺の計算問題をスムーズに行えれるようになってください。, トップページへ戻る |  これまでは、直角三角形を用いて鋭角の三角比を考えてきた。より一般的な三角形を分析するための準備として、ここでは三角比の考えを直角・鈍角・$0^\circ$へと拡張し、$0^\circ$から$180^\circ$までの三角比を統一的に扱おう。, 座標平面上の原点 $\text{O}$ を中心とする半径 $1$ の円を単位円 (unit circle) という。, 三角比の定義を、斜辺が $1$ である直角三角形 $\text{OPQ}$ において考えてみよう。, すると、正弦、余弦、正接はそれぞれ 今回は三角関数の定義についてです。これまでは三角関数を「なんとなく」扱ってきた人向けの記事です。今までは「上の2つの三角形を覚えよう!」であったり、よく使う公式なんかも紹介しましたね。少し確認してみましょう。例えば、\(\cos 30°\) \begin{align} が成り立ち、$\eqref{kakutyosaretasankakuhinosougokankenituite2}$ の両辺を $\sin^2\theta$ で割って、$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いると {\displaystyle x\mapsto (\cos x,\sin x)} \end{align} が成り立つ。また、三平方の定理より、$x^2+y^2=1$ であるから 今までは「上の2つの三角形を覚えよう!」であったり、よく使う公式なんかも紹介しましたね。少し確認してみましょう。, さて、本題に移ります。これまで扱ってきた角度は全て90°未満です。これ、もし角度が90°以上になるとどうなるんだろう?って考えた方はいませんか?, もちろん90°以上の鈍角の三角関数も存在しています。この計算を簡単にするために、今後でてくる公式をなるべく覚えなくて済むように、ここでしっかりと【三角関数の定義】を確認しておきましょう!, 定義って言うと難しく感じるけど、なるべく分かりやすく説明するよ〜!それに今理解しておくと今後がかなり楽になるからね!, これまでは三角形を基に三角関数を考えてきました。ですが、実は円で考えることで理解が深まります。下の図をみてみましょう!, 原点を中心とした、半径rの半円を考えます。この円の上に点P(X, Y)を適当に置きます。原点Oと点Pを結ぶ線を引くと、それによってできた角度がαだった。とします。, \(\sin α=\frac{Y}{r}\)、\(\cos α=\frac{X}{r}\)、\(\tan α=\frac{Y}{X}\), 分からない方は難しく考えないで、「まあそうだとしよう!」みたいな割り切りを持つといいと思います。理解は後からついてくるので!, ただ、第1回、第2回の記事をしっかり読んでいればsin, cos, tanの式はわかると思います。とりあえずそれでOKです!, 「定義」って名前はイカツイけど、結構シンプルなものが多いよ。角度(α)がどんな大きさになろうと、この式に当てはめるだけでOK!!, これです!簡単ですね!半径rの円を考えるのが少し厄介ですが、これさえ覚えておけばいいので超余裕です!, ちなみにsin, cos, tanの覚え方は三角関数の基礎の記事に書いてあります!, さっきまでは半径rの円を考えてましたが、半径を1として計算してみましょう!理由は計算が楽になるので。笑, 最初は理解が難しい面もあるかと思いますが、今後何か迷ったらこの定義をもとに考えればOKです!それが定義のすごいところで、どんな場面でもこの定義は成り立ちます。. Copyright © 2013 もう一度やり直しの算数・数学, All Rights Reserved. が区間 [0, 2π) から単位円周への(「反時計まわりの」)全単射であることを示すことができる。(連続微分可能な)曲線の長さを積分によって定義すれば、単位円周の長さが 2π であることなどがわかり、上のように定義された三角関数や円周率は、初等幾何での三角関数や円周率の素朴な定義と同じものであることが分かった[16]。, 三角関数の定義域を適当に制限したものの逆関数を逆三角関数(ぎゃくさんかくかんすう、英: inverse trigonometric function)と呼ぶ。逆三角関数は逆関数の記法に則り、元の関数の記号に −1 を右肩に付して表す。たとえば逆正弦関数(ぎゃくせいげんかんすう、英: inverse sine; インバース・サイン)は sin−1x などと表す。arcsin, arccos, arctan などの記法もよく用いられる。数値計算などにおいては、これらの逆関数はさらに asin, acos, atan などと書き表される。, である。逆関数は逆数ではないので注意したい。逆数との混乱を避けるために、逆正弦関数 sin−1x を arcsin x と書く流儀もある。一般に周期関数の逆関数は多価関数になるので、通常は逆三角関数を一価連続なる枝に制限して考えることが多い。たとえば、便宜的に主値と呼ばれる枝を, のように選ぶことが多い。またこのとき、制限があることを強調するために、Sin−1x, Arcsin x のように頭文字を大文字にした表記がよく用いられる。, exp z, cos z, sin z の級数による定義から、オイラーの公式 exp (iz) = cos z + i sin z を導くことができる。この公式から下記の 2 つの等式, が得られるから、これを連立させて解くことにより、正弦関数・余弦関数の指数関数を用いた表現が可能となる。すなわち、, が成り立つ。この事実により、級数によらずこの等式をもって複素変数の正弦・余弦関数の定義とすることもある。また、, が成り立つ。ここで cosh z, sinh z は双曲線関数を表す。この等式は三角関数と双曲線関数の関係式と捉えることもできる。複素数 z を z = x + iy (x, y ∈ R) と表現すると、加法定理より, 他の三角関数は csc z = 1 / sin z, sec z = 1 / cos z, tan z = sin z / cos z, cot z = cos z / sin z によって定義できる。, 球面の三角形 ABC の内角を a, b, c, 各頂点の対辺に関する球の中心角を α, β, γ とするとき、次のような関係が成立する。余弦公式や正弦余弦公式は式の対称性により各記号を入れ替えたものも成立する。, (Fundamental Pythagorean trigonometric identity), http://books.google.com/books?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA296, https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=三角関数&oldid=77553788. と表すことができる。, ここで、$\theta'=90^\circ+\theta$ であるから、次のようにまとめることができる。, 角 $\theta$ が $0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$ の三角比において